total points : 16 Il y plusieurs versions pour une question (Q1 voir plus bas) Q2: /1,5 ,5 point par réponse correcte Question 2 (B->F, B->E,...){{{ 1. Non car il n'y a pas de fleche de E vers G. 2. Djihane ou Chiara, car il y a une fleche de D->D 3. Benjamin, car il n'y a pas de flêche atteignant B 4. Alexandra, car le degré entrant de A est le plus grand. 5. l'ensemble vide, personne n'est apprécié par tout le monde }}} Question 2 (A->D, A->G, D->G){{{ 1. Non car il n'y a pas de fleche de E vers G. 2. Benjamin ou Fructueux car il y a une fleche de B->B et de F->F 3. Alexandra, car il n'y a pas de flêche atteignant A 4. Chiara semble la personne la plus appréciée 5. l'ensemble vide, personne n'est apprécié par tout le monde }}} Question 2 (D->E, D->F, E->F){{{ 1. Non, pas de flèche de E vers G 2. Chiara s'apprécie elle-même Goten aussi 3. Djihane n'est apprécié par personne car D ne possède aucun arc entrant 4. Benjamin est le plus apprécié car D est le sommet possèdant le plus grand nombre d'arcs entrants 5. ensemble vide }}} Question 2 (G->F, F->B, G->B){{{ 1. Non, pas de flèche de E vers G 2. Djihane s'apprécie lui-même Alexandra aussi 3. Goten n'est apprécié par personne car G ne possède aucun arc entrant 4. Eydan est le plus apprécié car E est le sommet possèdant le plus grand nombre d'arcs entrants 5. ensemble vide }}} (Q3 voir plus bas) Q4: /1 Question 4 R < N {{{ 1,5 est un nombre réel (R) qui n'est pas entier (N) donc "R sous ensemble de N" est faux }}} Question 4 P={2n+1 : n dans N} {{{ on obtient le plus petit élément de P avec n=0 cet élément est 1 donc 0 n'est pas dans P car 0<1 or 0 est dans N donc N n'est pas sous ensemble de P }}} Question 4 P={3n : n dans N} {{{ on obtient le plus petit élément de P avec n=0, le plus petit est donc 0) On obtient le second plus petit avec n=1, cet élément est 3 donc 1 n'est pas dans P car 0<1<3 or 1 est dans N donc N n'est pas sous ensemble de P }}} Question 4 P={2n : n dans N} {{{ on obtient le plus petit élément de P avec n=0, le plus petit est donc 0) On obtient le second plus petit avec n=1, cet élément est 2 donc 1 n'est pas dans P car 0<1<2 or 1 est dans N donc N n'est pas sous ensemble de P }}} Q5: /2 Question 5 Isa, Annie, Nävis {{{ On pose I, A, N les propositions suivantes I : "j'aime Isa" A : "j'aime Annie" N : "j'aime Nävis" On a donc U : (I v A) => ~N Z : I => N avec ~:non v:ou ^:et =>: si ... alors ... et on sait que U ^ Z (on a U et Z qui sont vraies) c'est à dire on a ((I v A) => ~N) ^ ( I=>N ) Quels sont les cas où cette dernière proposition est vraie selon I,A,N ? La table de vérité de cette dernière proposition est I A N | ((I v A) => ~N) ^ ( I=>N ) _____________________________________ F F F | V F F V | V F V F | V F V V | F V F F | F V F V | F V V F | F V V V | F Les seuls cas plausibles (qui vérifient les déclarations U et Z) sont donc - "je n'aime personne" - "je n'aime que Nävis" - "je n'aime que Annie" Dans tous les cas Isa n'est pas aimé donc on en est sûr. On ne peut pas savoir (sans information supplémentaire) si Nävis ou Annie sont aimées. }}} Question 5 François, Jannine, Louise {{{ On pose F, J, L les propositions suivantes F : "j'aime François" J : "j'aime Janine" L : "j'aime Louise" On a donc U : (F v J) => ~L Z : F => L avec ~:non v:ou ^:et =>: si ... alors ... et on sait que U ^ Z (on a U et Z qui sont vraies) c'est à dire on a ((F v J) => ~L) ^ ( F=>L ) Quels sont les cas où cette dernière proposition est vraie selon F,J,L ? La table de vérité de cette dernière proposition est F J L | ((F v J) => ~L) ^ ( F=>L ) _____________________________________ F F F | V F F V | V F V F | V F V V | F V F F | F V F V | F V V F | F V V V | F Les seuls cas plausibles (qui vérifient les déclarations U et Z) sont donc - "je n'aime personne" - "je n'aime que Louise" - "je n'aime que Janine" Dans tous les cas François n'est pas aimé donc on en est sûr. On ne peut pas savoir (sans information supplémentaire) si Janine ou Louise sont aimées. }}} Question 5 Françoise, Louis, Jean {{{ On pose F, L, J les propositions suivantes F : "j'aime Françoise" L : "j'aime Louis" J : "j'aime Jean" On a donc U : (F v L) => ~J Z : F => J avec ~:non v:ou ^:et =>: si ... alors ... et on sait que U ^ Z (on a U et Z qui sont vraies) c'est à dire on a ((F v L) => ~J) ^ ( F=>J ) Quels sont les cas où cette dernière proposition est vraie selon F,L,J ? La table de vérité de cette dernière proposition est F L J | ((F v L) => ~J) ^ ( F=>J ) _____________________________________ F F F | V F F V | V F V F | V F V V | F V F F | F V F V | F V V F | F V V V | F Les seuls cas plausibles (qui vérifient les déclarations U et Z) sont donc - "je n'aime personne" - "je n'aime que Jean" - "je n'aime que Louis" Dans tous les cas Françoise n'est pas aimé donc on en est sûr. On ne peut pas savoir (sans information supplémentaire) si Louis ou Jean sont aimés. }}} Question 5 Riri, Loulou, Fifi {{{ On pose R, L, F les propositions suivantes R : "j'aime Riri" L : "j'aime Loulou" F : "j'aime Fifi" On a donc U : (R v L) => ~F Z : R => F avec ~:non v:ou ^:et =>: si ... alors ... et on sait que U ^ Z (on a U et Z qui sont vraies) c'est à dire on a ((R v L) => ~F) ^ (R => F) Quels sont les cas où cette dernière proposition est vraie selon R,L,F ? La table de vérité de cette dernière proposition est R L F | ((R v L) => ~F) ^ (R => F) _____________________________________ F F F | V F F V | V F V F | V F V V | F V F F | F V F V | F V V F | F V V V | F Les seuls cas plausibles (qui vérifient les déclarations U et Z) sont donc - "je n'aime personne" - "je n'aime que Fifi" - "je n'aime que Loulou" Dans tous les cas Riri n'est pas aimé donc on en est sûr. On ne peut pas savoir (sans information supplémentaire) si Loulou ou Fifi sont aimés. }}} Q6: /1,5 0,5 par reponse juste Question 6 (il existe k dans N tel que k pas dans Z) => 3<0 {{{ 1. vrai, car "il existe k dans N tel que k pas dans Z" est faux car N est inclus dans Z 2. faux, 3,5 est un réel qui est supérieur à 3 mais pas supérieur à 4 3. faux, 3 est un entier qui ne vérifie aucune des deux inégalitées }}} Question 6 (il existe k dans N tel que k<0) => 5>3 {{{ 1. vrai, car "il existe k dans N tel que k<0" est faux car tous les entiers sont positifs 2. faux, on a 1,5<2 mais pas 1,5<=1 et 1,5 est un réel 3. faux, 1 ne vérifie aucune des deux inégalités, on a ni 1<1 ni 1>=2 }}} Question 6 (il existe x dans R tel racine(x)<0) => 2=5 {{{ 1. vrai, car (il existe x dans R tel racine(x)<0) est faux 2. vrai, puisque 5>4 et > est transitif 3. faux, 2 est bien dans N mais ne vérifie pas les deux proposositions }}} Question 6 (il existe x dans R tel x^2=-1) => pi {{{ 1. vrai, car (il existe x dans R tel x^2=-1) est faux 2. vrai, puisque 2<3 et < est transitif doc si x<2 alors x<3 3. faux, 2 est bien dans N mais 2<2 est faux et 2<=1 est faux aussi }}} Q7: /2 1)/1 2)/0,5 3)/0,5 Question 7 masse des planètes {{{ 1) oui, R est bien une relation d'ordre (strict) - irreflexive, entre autre car une planète n'est pas plus lourde qu'elle-même - transitive, on voit bien que si x est plus lourde que y et y est plus lourde que z on a x est plus lourde que z 2) oui, R est bien une relation d'ordre total Pour deux planètes x y on peut toujours comparer leurs masses et il n'y a pas deux planètes ayant la même masse On a donc toujours x R y ou y R x ou y=x (c'est la même planète) 3) Le plus petit élément selon R est Jupiter pour toute planète x, on a toujours "Jupiter R x" }}} Q8: /1,5 0,5 par réponse correcte Question 8 tournoi Roland-Garros {{{ 1.non, R n'est pas reflexive,on ne peut pas dire qu'un joueur s'affronte lui-même 2.oui, R est symétrique, si x a affronté y alors y a affronté x 3.non, R n'est pas transitive (sauf si deux participants au tournoi), le (ou un des) premier match est joué on appelle x le perdant et y le gagnant y a forcément affronté un autre joueur, nommons-le z, x n'as affronté personne d'autre. On a x R y, y R z mais pas x R z. }}} Question 8 poker, cartes à jouer {{{ 1. Oui, la même main possède forcément les deux cartes de même valeur donc au moins une 2. Oui, si les mains A et B ont une carte en commun alors B et A aussi 3. Non, exemple a={A,D} b={D,R} c={R,V} on A a R b et b R c mais on a pas a R c }}} Question 8 lettre en commun dans leur prénom {{{ 1. Oui, si on prend de fois le même mot ces deux mots on toute leur lettre commune 2. Oui, si prénom A et B ont une lettre en commun alors B et A aussi 3. Non, contre exemple, on a moussa R sacha et sacha R terrence mais on a pas moussa R terrence }}} Question 8 assis dans la même rangée {{{ 1. Oui, tout étudiant est assis dans la même rangée que lui-même 2. Oui, si x et y sont dans la même rangée c'est le cas pour y et x 3. oui, si x est dans la même rangée que y et que y est dans la même rangée que z c'est aussi la rangée de x. }}} Q9: /1,5 -0,5 par élément en trop ou manquant Question 9 1x) ^ (x<10)... {{{ A={7,8,9} }}} Question 9 (x-8<-3) ^ (2<=x+4) {{{ A={-2,-1,0,1,2,3,4} }}} Question 9 ~(x<=-3) ^ ~(6<=x) {{{ A={-2,-1,0,1,2,3,4,5} }}} Question 9 (x<=0)^(-x<10) {{{ A={-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0} }}} Q10: /1,5 -1 par élément en trop ou manquant Question 10 (3,1) (3,5) (4,2) x=y+2 {{{ C={3,4} }}} Question 10 (0,1) (2,1) (3,4) {{{ C={0,3} }}} Question 10 (7,4) (5,2) (5,1) x=y+3 {{{ C={7,5} }}} Question 10 (6,3) (4,3) (8,5) x=y+3 {{{ C={6,8} }}} Q3: /2 -,5 par arc/sommet manquant/en-trop (absence de boucle non pénalisé) Question 3 carapuce, florizzare, papillusion {{{ les arcs sont double (flèche à chaque bout) _ | | miaouss _ / _ | | / | | doduo ---- papillusion / \ | | / _ _\ _ / | / / \ | sulfura --- nosferapti |_| / |_| | _ _ / | | | | | florizarre -- tentacool ---- carapuce |_| }}} Question 3 bulbizarre, dracaufeu, roucool {{{ les arcs sont double (flèche à chaque bout) _ | | rondoudou _ | _ | | | | | roucool --- leviator / \ | | / _ _\ _ / | / / \ | dracaufeu --- électhor |_| / |_| _ _ / | | | | pikachu bulbizarre ---- paras |_| }}} Question 3 tortank, dracaufeu, lippoutou {{{ les arcs sont double (flèche à chaque bout) _ _ _ | | | | | | magmar tartard --- tortank | _ \ / | | | \ / dracaufeu --- artikodin --- lokhlass |_| \ / \ / |_| \ / \ / dracolosse lippoutou |_| |_| }}} Question 3 dracaufeu, florizarre, piafabec {{{ les arcs sont doubles (flèche à chaque bout) _ | | ramoloss ---------------------------- _ | _ | | | | | | | leviator --- piafabec | / \ | | | / _ _\ _ / | | / / \ | | dracaufeu --- nosferapti | |_| / |_| \ _ _ | / \ | | | | | nidoqueen --- florizarre --- noadkoko |_| }}} Q1: /1,5 table de vérité:/1 justification:/0,5 Question 1 (AvBvC)^(~A v ~B) {{{ A B C |(A v B v C) ^ (~A v ~B) ______________________________ F F F | F F F V | V F V F | V F V V | V V F F | V V F V | V V V F | F V V V | F Les formules ne sont pas "égales" La formule (A v B v C)^(~A v ~B) est F(fausse) lorsque A,B,C sont tous à V("vraie") alors que manifestement (A v B) v (C ^ ~(A ^ B)) est V(vraie) }}} Question 1 (~A^~B)v(~A^C) {{{ A B C | (~A^~B)v(~A^C) ______________________________ F F F | V F F V | V F V F | F F V V | V V F F | F V F V | F V V F | F V V V | F Les formules sont "égale" Si on pose P la première formule et S la seconde on constate que S= P v (A^~A) or A^~A=F peut importe la valeur de A donc S=P }}} Question 1 (A^D)v(~B ^ ~C) {{{ A B C D |(A^D)v(~B ^ ~C) | (A v ~(B v C)) ^ (D v ~(B v C)) ________|________________|________________________________ F F F F | V | V F F F V | V | V F F V F | F | F F F V V | F | F F V F F | F | F F V F V | F | F F V V F | F | F F V V V | F | F V F F F | V | V V F F V | V | V V F V F | F | F V F V V | V | V V V F F | F | F V V F V | V | V V V V F | F | F V V V V | V | V Les formules sont égales, on peut le voir avec leurs tables de vérité. On aurait pu aussi s'en rendre compte grâce aux lois de Morgan et à la distributivité de v sur ^ (A^D)v(~B ^ ~C) = (Av(~B ^ ~C)) ^ (Dv(~B ^ ~C)) = (Av ~(B v C)) ^ (D v ~(B v C)) }}} Question 1 (~Av~C)^(BvA) {{{ A B C | (~Av~C)^(BvA) | (~A^B)v(~C^A)v(~C^B) ______________________________________________ F F F | F | F F F V | F | F F V F | V | V F V V | V | V V F F | V | V V F V | F | F V V F | V | V V V V | F | F Ces deux formules ont les mêmes tables de vérité elle sont "égales" }}}